Densité Normale

[Densité de Laplace-Gauss]

Loi Normale Loi Exponentielle Loi Uniforme Loi Gamma

Loi Normale

Support $\mathbb {R}$
Densité de probabilité ${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
Fonction de répartition ${\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right)$
Espérance $\mu$
Médiane $\mu$
Mode $\mu$
Variance $\sigma ^{2}$
Asymétrie 0
Kurtosis normalisé 0
Entropie $\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,{\rm {e}}}}\right)$
Fonction génératrice des Moments ${\displaystyle \exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
Fonction caractéristique ${\displaystyle \exp \left(\mu \,{\rm {i}}\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$

Loi exponentielle

Support[0,$\infty$[
Densité de probabilité $\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}$ Fonction de répartition $1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}$
Espérance ${\dfrac {1}{\lambda}}$
Médiane ${\dfrac {\ln(2)}{\lambda }}$
Mode $0$
Variance ${\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}$
Asymétrie $2$
Kurtosis normalisé $6$
Entropie $1-\ln(\lambda)$
Fonction génératrice des Moments $\left(1-{\dfrac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
Fonction caractéristique $\left(1-{\dfrac {\mathrm {i} t}{\lambda }}\right)^{-1}$

Loi uniforme

Support[a,b]
Densité de probabilité ${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{pour }}a\leq x\leq b\\0&{\text{pour }}x\lt a{\text{ ou }}x\gt b\end{cases}}$
Fonction de répartition ${\begin{cases}0&{\text{pour }}x\lt a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{pour }}a\leq x\lt b\\1&{\text{pour }}x\geq b\end{cases}}$
Espérance ${\frac {a+b}{2}}$
Médiane ${\frac {a+b}{2}}$
Mode toute valeur dans ${\text{toute valeur dans }[a,b]}$
Variance ${\frac {(b-a)^{2}}{12}}$
Asymétrie $0$
Kurtosis normalisé $-{\frac {6}{5}}$
Entropie $\ln(b-a)$
Fonction génératrice des Moments ${\frac {{\rm {e}}^{tb}-{\rm {e}}^{ta}}{t(b-a)}}$
Fonction caractéristique ${\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}tb}-{\rm {e}}^{{\rm {i}}ta}}{{\rm {i}}t(b-a)}}$

Loi gamma

Support ${x\in [0,+\infty [}$
Densité de probabilité ${{\frac {x^{k-1}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}}$
Fonction de répartition ${{\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}}$
Espérance ${k\theta}$
Médiane ${pas d’expression formelle}$
Mode ${(k-1)\theta \,} pour k\geq 1\}$
Variance ${k\theta ^{2}}$
Asymétrie ${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Kurtosis normalisé ${{\frac {6}{k}}}$
Entropie $k\theta +(1-k)\ln(\theta )+\ln(\Gamma (k))\ +(1-k)\psi (k)\,$
Fonction génératrice des Moments ${(1-\theta \,t)^{-k} pour~t\gt 1/\theta}$
Fonction caractéristique ${\left(1-\mathrm {i} \theta t\right)^{-k}}$

SPGoO

Loi Normale

Loi exponentielle

Loi uniforme

Loi gamma

Loi de Cauchy

Loi du Chi2

Loi de Fréchet

Loi de Gumbel

Loi de Voigt

Loi de Fisher

Loi hyperbolique

Loi de Laplace

Loi de Weibull

Loi de Student

Loi LogNormale