Densité Normale

Loi Normale

Support $\mathbb {R}$
Densité de probabilité ${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
Fonction de répartition ${\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right)$
Espérance $\mu$
Médiane $\mu$
Mode $\mu$
Variance $\sigma ^{2}$
Asymétrie 0
Kurtosis normalisé 0
Entropie $\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,{\rm {e}}}}\right)$
Fonction génératrice des Moments ${\displaystyle \exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
Fonction caractéristique ${\displaystyle \exp \left(\mu \,{\rm {i}}\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$

Loi exponentielle

Support[0,$\infty$[
Densité de probabilité $\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}$ Fonction de répartition $1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}$
Espérance ${\dfrac {1}{\lambda}}$
Médiane ${\dfrac {\ln(2)}{\lambda }}$
Mode $0$
Variance ${\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}$
Asymétrie $2$
Kurtosis normalisé $6$
Entropie $1-\ln(\lambda)$
Fonction génératrice des Moments $\left(1-{\dfrac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
Fonction caractéristique $\left(1-{\dfrac {\mathrm {i} t}{\lambda }}\right)^{-1}$

Loi uniforme

Support[a,b]
Densité de probabilité ${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{pour }}a\leq x\leq b\\0&{\text{pour }}x\lt a{\text{ ou }}x\gt b\end{cases}}$
Fonction de répartition ${\begin{cases}0&{\text{pour }}x\lt a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{pour }}a\leq x\lt b\\1&{\text{pour }}x\geq b\end{cases}}$
Espérance ${\frac {a+b}{2}}$
Médiane ${\frac {a+b}{2}}$
Mode toute valeur dans ${\text{toute valeur dans }[a,b]}$
Variance ${\frac {(b-a)^{2}}{12}}$
Asymétrie $0$
Kurtosis normalisé $-{\frac {6}{5}}$
Entropie $\ln(b-a)$
Fonction génératrice des Moments ${\frac {{\rm {e}}^{tb}-{\rm {e}}^{ta}}{t(b-a)}}$
Fonction caractéristique ${\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}tb}-{\rm {e}}^{{\rm {i}}ta}}{{\rm {i}}t(b-a)}}$

Loi gamma

Support ${x\in [0,+\infty [}$
Densité de probabilité ${{\frac {x^{k-1}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}}$
Fonction de répartition ${{\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}}$
Espérance ${k\theta}$
Médiane ${pas d’expression formelle}$
Mode ${(k-1)\theta \,} pour k\geq 1\}$
Variance ${k\theta ^{2}}$
Asymétrie ${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Kurtosis normalisé ${{\frac {6}{k}}}$
Entropie $k\theta +(1-k)\ln(\theta )+\ln(\Gamma (k))\ +(1-k)\psi (k)\,$
Fonction génératrice des Moments ${(1-\theta \,t)^{-k} pour~t\gt 1/\theta}$
Fonction caractéristique ${\left(1-\mathrm {i} \theta t\right)^{-k}}$

Loi de Cauchy

Loi du Chi2

Loi de Fréchet

Loi de Gumbel

Paramètres ${\mu}$ position (réel) ${\beta >0}$ échelle (réel)
Support ${x\in [0,+\infty [}$
Densité de probabilité ${{\frac {\exp(-z)\,z}{\beta }}}$
avec ${z=\exp \left[-{\frac {x-\mu }{\beta }}\right]}$
Fonction de répartition ${\exp(-\exp[-(x-\mu )/\beta ])}$
Espérance ${\mu +\beta \,\gamma}$
où ${\gamma }$ est la Constante d’Euler-Mascheroni.
Médiane ${\mu -\beta \,\ln(\ln(2))}$
Mode ${\mu}$
Variance ${{\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\beta ^{2}}$
Asymétrie ${{\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14}$
Kurtosis normalisé ${{\frac {12}{5}}}$
Entropie ${\ln(\beta )+\gamma +1}$
pour ${\beta >\exp(-(\gamma +1))}$
Fonction génératrice des Moments ${\Gamma (1-\beta \,t)\,\exp(\mu \,t)}$
Fonction caractéristique ${\Gamma (1-i\,\beta \,t)\,\exp(i\,\mu \,t)}$

Loi de Voigt

Loi de Fisher

Paramètres ${d_{1}>0,\ d_{2}>0}$ degré de liberté
Support ${ x\in [0,+\infty [}$
Densité de probabilité ${{\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}}$
Fonction de répartition ${ I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)}$
Espérance ${{\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}$ pour ${d_{2}>2}$
Mode ${{\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ pour ${ d_{1}>2}$
Variance ${{\tfrac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}}$ pour
${ d_{2}>4}$
Asymétrie ${{\tfrac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}}$ pour
${d_{2}>6}$
Kurtosis normalisé ${12{\tfrac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}}$ pour
${d_{2}>8}$

Loi hyperbolique

Support ${x\in ]-\infty ;+\infty [}$
Densité de probabilité ${{\frac {1}{2}}\;\operatorname {sech} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)}$
Fonction de répartition ${{\frac {2}{\pi }}\arctan \!\left[\exp \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\right]}$
Espérance ${ 0}$
Médiane ${ 0}$
Mode ${ 0}$
Variance ${ 1}$
Asymétrie ${ 0}$
Kurtosis normalisé ${ 2}$
Entropie ${4/π K ≈ 1,16624}$

Loi de Laplace

Paramètres ${ \mu \,}$ Paramètre de position (réel) ${ b>0\,}$ Paramètre d’échelle (réel)
Support ${ x\in (-\infty ;+\infty )\,}$
Densité de probabilité ${{\frac {1}{2\,b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,}$
Fonction de répartition
Espérance ${ \mu \,}$
Médiane ${ \mu \,}$
Mode ${ \mu \,}$
Variance ${ 2\,b^{2}}$
Asymétrie ${ 0\,}$
Kurtosis normalisé ${ 3}$
Entropie ${ \log _{2}(2{\rm {e}}b)}$
Fonction caractéristique ${{\frac {\exp({\rm {i}}\,\mu \,t)}{1+b^{2}\,t^{2}}}\,}$

Loi de Weibull

Paramètres ${ \lambda >0\,}$ échelle (réel) ${k>0\,}$ forme (réel)
Support ${ x\in [0;+\infty [\,}$
Densité de probabilité ${(k/\lambda )(x/\lambda )^{(k-1)}\mathrm {e} ^{-(x/\lambda )^{k}}}$
Fonction de répartition ${ 1-\mathrm {e} ^{-(x/\lambda )^{k}}}$
Espérance ${\mu =\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}$
Médiane ${\lambda (\ln 2)^{1/k}\,}$
Mode ${\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,} si {\displaystyle k>1}$
Variance ${\sigma ^{2}=\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,}$
Asymétrie ${\gamma _{1}={\frac {\lambda ^{3}\Gamma (1+{\frac {3}{k}})-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$
Kurtosis normalisé ${\gamma _{2}={\tfrac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\mu \sigma ^{3}\gamma _{1}-3\sigma ^{4}-6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}}$
Entropie ${\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\left({\frac {\lambda }{k}}\right)^{k}+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)}$

Loi de Student

Paramètres
k > 0 (degrés de liberté)
Support ${x\in \mathbb {R}}$
Densité de probabilité ${ f_{T}(t)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{k}}\right)^{-{\frac {k+1}{2}}}}$
Fonction de répartition ${{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right){\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {k+1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{k}}\right)}{{\sqrt {k\pi }}\,\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\end{matrix}}}$ où 2F1 est la fonction hypergéométrique
Espérance
si k ≤ 1 : forme indéterminée
si k > 1 : 0
Médiane 0
Mode 0
Variance
si k ≤ 1 : forme indéterminée
si 1 < k ≤ 2 : +∞
si k > 2 : ${{\frac {k}{k-2}}}$
Asymétrie
si k ≤ 3 : forme indéterminée

Kurtosis normalisé
si k ≤ 2 : forme indéterminée
si 2 < k ≤ 4 : +∞
si k > 4 : ${{\frac {6}{k-4}}}$

SPGoO